1. 拉格朗日插值法的應(yīng)用
在數(shù)值分析中，拉格朗日插值法是以法國十八世紀(jì)數(shù)學(xué)家約瑟夫·拉格朗日命名的一種多項式插值方法。
許多實際問題中都用函數(shù)來表示某種內(nèi)在聯(lián)系或規(guī)律，而不少函數(shù)都只能通過實驗和觀測來了解。如對實踐中的某個物理量進(jìn)行觀測，在若干個不同的地方得到相應(yīng)的觀測值，拉格朗日插值法可以找到一個多項式，其恰好在各個觀測的點取到觀測到的值。
2. 拉格朗日插值法實驗原理
拉格朗日插值公式
約瑟夫·拉格朗日發(fā)現(xiàn)的公式
拉格朗日插值公式線性插值也叫兩點插值，已知函數(shù)y = f (x)在給定互異點x0, x1上的值為y0= f (x0)，y1=f (x1)線性插值就是構(gòu)造一個一次多項式P1(x) = ax + b使它滿足條件P1 (x0) = y0 P1 (x1) = y1其幾何解釋就是一條直線，通過已知點A (x0, y0)，B(x1, y1)。
3. 拉格朗日插值法應(yīng)用在哪些方面
一、拉格朗日插值法
是以法國十八世紀(jì)數(shù)學(xué)家約瑟夫·路易斯·拉格朗日命名的一種多項式插值方法。許多實際問題中都用函數(shù)來表示某種內(nèi)在聯(lián)系或規(guī)律，而不少函數(shù)都只能通過實驗和觀測來了解。如對實踐中的某個物理量進(jìn)行觀測，在若干個不同的地方得到相應(yīng)的觀測值，拉格朗日插值法可以找到一個多項式，其恰好在各個觀測的點取到觀測到的值。這樣的多項式稱為拉格朗日（插值）多項式。
二、Lagrange基本公式：
拉格朗日插值公式，設(shè)，y=f(x)，且xi< x < xi+1，i=0，1，…，n-1，有：
Lagrange插值公式計算時，其x取值可以不等間隔。由于y=f(x)所描述的曲線通過所有取值點，因此，對有噪聲的數(shù)據(jù)，此方法不可取。
一般來說，對于次數(shù)較高的插值多項式，在插值區(qū)間的中間，插值多項式能較好地逼近函數(shù)y=f(x)，但在遠(yuǎn)離中間部分時，插值多項式與y=f(x)的差異就比較大，越靠近端點，其逼近效果就越差。
三、C++實現(xiàn)
#include <iostream>
#include <conio.h>
#include <malloc.h>
double lagrange(double *x,double *y,double xx,int n)/*拉格朗日插值算法*/
{
int i,j;
double *a,yy=0.0;/*a作為臨時變量，記錄拉格朗日插值多項式*/
a=(double *)malloc(n*sizeof(double));
for(i=0;i<=n-1;i++)
{
a[i]=y[i];
for(j=0;j<=n-1;j++)
if(j!=i) a[i]*=(xx-x[j])/(x[i]-x[j]);
yy+=a[i];
}
free(a);
return yy;
}
/
int main()
{
int i;
int n;
double x[20],y[20],xx,yy;
printf("Input n:");
scanf("%d",&n);
if(n>=20)
{
printf("Error!The value of n must in (0,20).");
getch();
return 1;
}
if(n<=0)
{
printf("Error! The value of n must in (0,20).");
getch();
return 1;
}
for(i=0;i<=n-1;i++)
{
printf("x[%d]:",i);
scanf("%lf",&x[i]);
}
printf("\n");
for(i=0;i<=n-1;i++)
{
printf("y[%d]:",i);
scanf("%lf",&y[i]);
}
printf("\n");
printf("Input?xx:");
scanf("%lf",&xx);
yy=lagrange(x,y,xx,n);
printf("x=%.13f,y=%.13f\n",xx,yy);
getch();
}
4. 拉格朗日插值方法
拉格朗日插值法與牛頓插值法都是二種常用的簡便的插值法。但牛頓法插值法則更為簡便，與拉格朗日插值多項式相比較，它不僅克服了“增加一個節(jié)點時整個計算工作必須重新開始”的缺點，而且可以節(jié)省乘、除法運(yùn)算次數(shù)。
同時，在牛頓插值多項式中用到的差分與差商等概念，又與數(shù)值計算的其他方面有著密切的關(guān)系。所以??！
從運(yùn)算的角度來說牛頓插值法精確度高從數(shù)學(xué)理論上來說的話，我傾向于拉格朗日大神！！
話說拉格朗日當(dāng)初不搞天文，不搞物理，專弄數(shù)學(xué)，估計是數(shù)學(xué)歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家了，沒有之一。
5. 拉格朗日插值法基本原理
拉格朗日乘數(shù)原理（即拉格朗日乘數(shù)法）由用來解決有約束極值的一種方法。
有約束極值：舉例說明，函數(shù) z=x^2+y^2 的極小值在x=y=0處取得，且其值為零。如果加上約束條件 x+y-1=0,那么在要求z的極小值的問題就叫做有約束極值問題。
上述問題可以通過消元來解決，例如消去x，則變成
z=(y-1)^2+y^2
則容易求解。
但如果約束條件是(x+1)^2+(y-1)^2-5=0,此時消元將會很繁，則須用拉格朗日乘數(shù)法，過程如下：
令
f=x^2+y^2+k*((y-1)^2+y^2)
令
f對x的偏導(dǎo)=0
f對y的偏導(dǎo)=0
f對k的偏導(dǎo)=0
解上述三個方程，即可得到可讓z取到極小值的x,y值。
拉格朗日乘數(shù)原理在工程中有廣泛的應(yīng)用，以上只簡單地舉一例，更復(fù)雜的情況（多元函數(shù)，多限制條件）可參閱高等數(shù)學(xué)教材。
6. 利用拉格朗日插值法
構(gòu)造函數(shù)4a+b+m(a^2+b^2+c^2-3)
對函數(shù)求偏導(dǎo)并令其等于0
4+2ma=0
1+2mb=0
2mc=0
同時a^2+b^2+c^2=3
所以
m=根號17/2根號3
a=-4根號3/根號17
b=-根號3/根號17
4a+b=-根號51
1、是求極值的,不是求最值的
2、如果要求最值,要把極值點的函數(shù)值和不可導(dǎo)點的函數(shù)值還有端點函數(shù)值進(jìn)行比較
3、書上說是可能的極值點,這個沒錯,比如f(x)=x^3,在x=0點導(dǎo)數(shù)確實為0,但是不是極值點,所以是可能的極值點,到底是不是要帶入原函數(shù)再看
7. 拉格朗日插值法的應(yīng)用概述
羅爾中值定理能推出拉格朗日中值定理和柯西中值定理，反過來拉格朗日中值定理和柯西中值定理也可以推出羅爾中值定理。
泰勒中值定理是由柯西中值定理推出來的。泰勒中值定理在一階導(dǎo)數(shù)情形就是拉格朗日中值定理。
羅比達(dá)法則是柯西中值定理在求極限時應(yīng)用。